In questa tesi viene presentata un'analisi degli effetti indotti dalla
presenza di una forza di frizione lineare e dall'aggiunta di piccole
quantità di polimeri sulle proprietà statistiche della
turbolenza bidimensionale.
La prima parte della tesi riguarda gli effetti di una forza di frizione lineare sulla cascata diretta di enstrofia. Si mostra come la frizione causi un aumento della pendenza dello spettro di energia, e una forte intermittenza nella statistica delle fluttuazioni di vorticità a piccola scala.
Questi effetti possono essere previsti e quantificati per mezzo della statistica lagrangiana. In particolare mostrerò che la forza di frizione lineare riduce le proprietà statistiche della vorticità a piccola scala a coincidere con quelle di un campo scalare passivo con vita media finita trasportato dallo stesso flusso.
Le previsioni teoriche ottenute mediante l'approccio Lagrangiano
sono state verificate per mezzo di simulazioni numeriche dell'equazione di
Navier-Stokes e dell'equazione di avvezione-reazione
per lo scalare passivo.
Nella seconda parte viene affrontato lo studio di soluzioni diluite di polimeri in due dimensioni per mezzo di un modello viscoelastico lineare (Oldroyd-B).
Nel caso passivo, ossia trascurando la reazione dei polimeri sul flusso, si dimostra che la distribuzione di probabilità dell'elongazione dei polimeri ha una coda a legge di potenza, la cui pendenza può essere calcolata a partire dalla statistica dei tempi di uscita lagrangiani.
Nel caso attivo mostrerò che l'energia cinetica del fluido è fortemente ridotta dalla reazione dei polimeri. Questo fenomeno va confontato con il caso tridimensionale, in cui viceversa l'energia cinetica del flusso medio risulta aumentata dalla presenza dei polimeri.
Il modello viscoelastico adottato fornisce una chiara spiegazione dell'origine della riduzione dell energia, che è stata osservata anche in esperimenti su pellicole di sapone.
Inoltre mostrerò che la presenza dei polimeri causa una forte riduzione del
caos lagrangiano, e influenza il decadimento della turbolenza bidimensionale
così come la cascata inversa di energia, che può venire
completamente soppressa qualora l'elasticità dei polimeri sia
sufficientemente elevata.
Le due parti della tesi sono strettamente collegate dai metodi utilizzati per
studiare due differenti situazioni fisiche, che sono entrambe ricondotte al
problema generale del trasporto di campi attivi, scalari o tensoriali.
La descrizione lagrangiana del trasporto turbolento, che si è rivelata
essere il più potente strumento per la comprensione del problema passivo,
viene qui utilizzata per studiare due casi in cui le quantità trasportate
sono attive, ossia hanno delle ripercussioni sul campo di velocità.
La tesi è organizzata in quattro capitoli. Il primo capitolo vuole essere una breve introduzione alla turbolenza pienamente sviluppata in due dimensioni. Riassumerò la fenomenologia di base, introducendo i concetti e la terminologia che verrano utilizzati nella tesi e sottolineando le principali differenze rispetto al caso tridimensionale.
Il secondo capitolo tratta degli effetti della frizione in turbolenza bidimensionale. Mostrerò l'analogia con il problema del trasporto di un campo scalare passivo con vita media finita, fornando una breve rassegna di recenti risultati ottenuti per questo problema, e mostrando come e sotto quali condizioni essi possano essere applicati al caso della vorticità in turbolenza bidimensionale in presenza di frizione. Presenterò quindi un confronto fra i risultati ottenuti per mezzo di simulazioni numeriche e le previsioni basate sulla statistica lagrangiana.
Nel terzo capitolo presento una breve introduzione alla fisica delle soluzioni diluite di polimeri, descrivendo alcuni dei fenomeni osservati negli esperimenti e introducendo il modello viscoelastico utilizzato nella tesi.
Il quarto capitolo contiene i risultati dello studio teorico e numerico delle soluzioni diluite di polimeri in due dimensioni.