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  {
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   "source": [
    "# Programmare in Python\n",
    "\n",
    "## Esercizi: Scipy\n"
   ]
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   "source": [
    "__1 - Trovate le intersezioni fra le curva $y = x^2 - 4 \\,\\sqrt{x}\\,\\,$ e la retta $\\,y = 3$.__"
   ]
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   "source": [
    "__2 - Determinare  le due soluzioni più vicine all’origine di: $\\sin(x) + \\cos(x) = 0$. Verificare la soluzione facendo il grafico.__"
   ]
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   "source": [
    "__3 - Calcolate numericamente, usando la funzione `quad`, l'integrale:__\n",
    "$$\\,\\int_0^1 dx\\,e^{-x^2}$$"
   ]
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   "source": [
    "__4 - Calcolate l'integrale:__\n",
    "$$\\int_{-2}^2 dx\\,\\sqrt{4 - x^2}$$\n",
    "__Confrontate con il risultato esatto $\\,2\\, \\pi$.__ "
   ]
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   "source": [
    "__5 - Calcolate numericamente, usando la funzione `quad`, l'integrale:__\n",
    "$$\\,\\int_0^\\infty dx\\,e^{-x^2}$$\n",
    "__Confrontate con il risultato esatto $\\sqrt{ \\pi}\\,/\\,2$.__ "
   ]
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   "source": [
    "__6 - Trovate le radici dell'equazione $\\,x = \\sqrt{8/x -1}$ usando il metodo di bisezione. Prima di procedere determinate in quale intervallo l'equazione è definita. Fate il grafico della funzione in modo da scegliere opportunamente i parametri per il metodo di bisezione.__"
   ]
  },
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  },
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   "source": [
    "__7 - Calcolate, usando `quad`, l'integrale:__\n",
    "$$\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}} dx\\,x^3$$\n",
    "__Confrontate con il risultato esatto $\\frac{\\pi^4}{2^6}$.__<br>\n",
    "__Calcolate lo stesso integrale usando il metodo dei trapezi, variando il numero di trapezi utilizzato.__<BR>\n",
    "__Ripetete tutti i passaggi per:__\n",
    "    $$\\int_0^{\\frac{\\pi}{2}} dx\\,\\sin^2(x)$$\n",
    "__Il risultato esatto in questo caso è $\\frac{\\pi}{4}$.__"
   ]
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    "__8 - Trovate gli zeri della funzione:__\n",
    "$$ y(t) = t\\,(1-t) + t\\, e^{-t}$$"
   ]
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    "__9 - Risolvere l'equazione:__\n",
    "$$ 10^x + 11^x +12^x = 13^x +14^x.$$\n",
    "__Verificare graficamente e analiticamente il risultato.__"
   ]
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   "source": [
    "__10 - Importate i dati contenuti in `../Data/parabolic_data.txt`. Fate un fit dei dati utilizzando la funzione $y(x) = a x^2 +b x +c$ con $a,\\,b,\\,c$ come parametri liberi.__\n",
    "\n",
    "__Sovrapponete ai dati la funzione ottenuta dal fit.__"
   ]
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   "outputs": [],
   "source": []
  },
  {
   "cell_type": "markdown",
   "metadata": {},
   "source": [
    "__11 - Importate i dati contenuti in `../Data/decay_data.txt` (05_input-output-files.ipynb). I dati (falsi) rappresentano il numero di particelle $\\alpha$ rilevate al secondo vicino a un elemento radioattivo $X$. Il tempo delle misure è dato nella prima colonna in secondi a partire dall'inizio dell'esperimento. La seconda colonna fornisce il numero di particelle rilevate in un dato secondo.__\n",
    "\n",
    "- __Fate un plot dei dati. Inserite i titoli opportuni per i due assi.__\n",
    "\n",
    "- __Il numero di nuclei non decaduti di un elemento radioattivo segue una legge del tipo:__\n",
    "$$R(t) = R_0~e^{-t/\\tau}$$\n",
    "__dove $R_0$ è il numero di nuclei a $t=0$, e $\\tau$ è la vita media. \n",
    "Il numero di decadimenti fra $t_1$ e $t_1 + 1$ è dato da__\n",
    "$$D(t) = R_0~e^{-t/\\tau}\\left( 1 - \\frac{1}{\\tau} \\right)\\approx \\frac{R_0}{\\tau}~e^{-t/\\tau} $$\n",
    "__Fate un fit dei dati utilizzando la funzione $D(t)$ con $R_0/\\tau$ e $1/\\tau$ come parametri liberi.__<BR>\n",
    "__Notate che `curve_fit` non riesce a determinare i parametri.__\n",
    "__Due possibili soluzioni sono:__\n",
    "    - __Fornire a `curve_fit` una stima del valore dei parametri (variabile p0 in input. Leggete la documentazione di `curve_fit`)__\n",
    "    - __Fare il fit del logaritmo dei dati usando una retta: $\\,\\,\\log(D(t)) = a - b*t$__\n",
    "\n",
    "__Sovrapponete ai dati la funzione ottenuta dal fit.__<BR>\n",
    "__I dati sono stati generati con $R_0 = 1\\cdot 10^{14},\\,\\tau = 3000.$__ "
   ]
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